什么是二分查找

二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次通过跟区间中间的元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间缩小为0。

时间复杂度分析

时间复杂度

假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^k)，…，这是一个等比数列。当n/(2^k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)。

认识O(logn)

1. 这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？
2. 因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
3. 由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。

如何实现二分查找

循环实现

func binarySearch1([]int a, val int) int {
	start := 0
	end := len(a) - 1

	for start <= end {
		// 不要使用（start + end）/ 2 防止超出边界
		mid := start + (end - start) / 2 
		if a[mid] > val {
			end = mid - 1
		} else if a[mid] < val {
			start = mid + 1
		} else {
			return mid
		}
	}
	return -1
}

注意事项：

1. 循环退出条件是：start<=end，而不是start<end。
2. mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即start + ((end - start) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3. start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。

递归实现

func binarySearch2([]int a, val int) int {
	return bSear(a, val, 0, len(a)-1)
}

func bSear([]int a, val int, start int, end int) int {
	if start > end {
		return -1
	}
	mid := start + (end - start)/2
	if a[mid] == val {
		return mid
	}else if a[mid] > val {
		end = mid - 1
	}else {
		start = mid + 1
	}
	return bSear(a, val, start, end)
}

使用条件（应用场景的局限性）

1. 二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
2. 二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3. 数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
4. 数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。

思考

1. 如何在1000万个整数中快速查找某个整数？
   ①1000万个整数占用存储空间为40MB，占用空间不大，所以可以全部加载到内存中进行处理；
   ②用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)
   ③在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)
2. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？